Нормальность числа π⁠

Начи­ная с какой позиции в деся­тич­ной записи числа $\pi$ впер­вые встре­тится дата вашего рож­де­ния?

Нормаль­ным (по осно­ва­нию 10) назы­ва­ется число, в деся­тич­ной записи кото­рого любая конеч­ная после­до­ва­тель­ность цифр длины $n$ обя­за­тельно встре­ча­ется, при­чём с часто­той $10^{−n}$. Поня­тие нормаль­ного числа было вве­дено Эми­лем Боре­лем в 1909 году и им же было дока­зано, что почти все (по мере Лебега) действи­тель­ные числа нормальны (поэтому и такое назва­ние).

Можно предъявить искус­ствен­ное число, на про­сто­рах кото­рого встре­тится любая ком­би­нация цифр: $C_{10}=0{,}123\,{\ldots}\, 9\, 101112\,{\ldots}\, 99\, 100101102\,{\ldots}\, 999\,{\ldots}$ — после запя­той выпи­сы­ваются все одно­знач­ные числа, затем при­пи­сы­ваются все дву­знач­ные числа, затем все трёх­знач­ные, … Эта кон­струкция была изу­чена Дэви­дом Чемпер­на­у­ном в работе 1933 года и назы­ва­ется посто­ян­ной Чемпер­на­у­ана (буква $C$ — Champernowne, а индекс $10$ гово­рит о том, что нормаль­ность рас­смат­ри­ва­ется в деся­тич­ной записи). Посто­ян­ные Чемпер­на­у­ана можно скон­стру­и­ро­вать тем же спо­со­бом и в других системах счис­ле­ния, и каж­дый раз будут полу­чаться нормаль­ные числа по соот­вет­ствующему осно­ва­нию. А можно постро­ить числа, кото­рые будут нормаль­ными по любому осно­ва­нию — такие числа назы­ваются абсо­лютно нормаль­ными.

Однако, ни для одного из «есте­ствен­ных» чисел — напри­мер, $\pi$, $e$, $\ln 2$, $\sqrt{2}$ или $\sqrt[3]{2}$ — нормаль­ность даже по одной из систем счис­ле­ния дока­зать пока не уда­лось. Повто­ря­ется исто­рия с трансцен­дент­ными чис­лами: сна­чала некон­струк­тивно было дока­зано, что они суще­ствуют, что их много,потом такие числа уда­лось постро­ить (числа Лиувилля), а лишь потом матема­тики научи­лись дока­зы­вать трансцен­дент­ность извест­ных кон­стант ($e$, $\pi$, …). Так и с нормаль­ными чис­лами: известно, что почти все числа нормаль­ные, но иссле­до­ва­ние кон­крет­ного числа — очень труд­ная задача. Суще­ствует гипо­теза, что все ирраци­о­наль­ные алгеб­ра­и­че­ские числа нормальны, но как к ней под­ступиться, матема­тики пока не знают. Раз­дел тео­рии чисел, кото­рый занима­ется иссле­до­ва­нием нормаль­ных чисел, назы­ва­ется тео­рией рав­но­мер­ного рас­пре­де­ле­ния.

В пред­став­лен­ном сюжете рас­смат­ри­ваются не все­возмож­ные после­до­ва­тель­но­сти цифр, а лишь после­до­ва­тель­но­сти длины $6$ (и даже ещё силь­нее: такие, кото­рые соот­вет­ствуют дням рож­де­ния). Их конеч­ное число, и пере­бо­ром можно убе­диться, что $10{,}5$ мил­ли­о­нов пер­вых зна­ков из деся­тич­ной записи числа $\pi$ доста­точно, чтобы на этом отрезке встре­тился любой день рож­де­ния — ваш, ваших дру­зей, роди­те­лей и бабу­шек.