Во сколько цветов можно покрасить тор — поверхность бублика — так, чтобы любые два цвета имели общий участок границы? Бывает ли многогранник, отличный от тетраэдра, у которого любые две грани имеют общее ребро?
Сферу несложно покрасить в четыре цвета так, чтобы любые два цвета имели общую границу. С точки зрения науки топологии, в которой тела сделаны из тянущегося, но не рвущегося «пластилина», сфера эквивалентна, например, тетраэдру — многограннику, у которого четыре грани, любые две грани имеют общее ребро, а любые две вершины соединены общим ребром. Тетраэдр из сферы можно сделать так, чтобы каждая грань была покрашена в свой цвет.
Возможность растягивать и изгибать материал позволяет представлять себе тор в виде прямоугольника, у которого противоположные грани попарно склеиваются при сворачивании. Такая «развёртка» удобна для изучения, а картинку по прямоугольнику можно смещать и по горизонтали, и по вертикали как угодно.
Многогранник, соответствующей такой раскраске тора, был найден венгерским математиком Ла́йошем Си́лашши (Lajos Szilassi) в 1977 году. Топологически он представляет собой полиэдральный тор — в нём есть одна дырка. В многограннике Силашши 7 граней, любые две из которых имеют общее ребро; 14 вершин, любые две из которых соединены ребром; количество рёбер — 21.
Математическая основа представленных раскрасок и многогранников — топологическая теория графов, изучающая какие графы можно нарисовать на каких поверхностях. Самая известная задача из этой области — задача о домиках и колодцах. А вопрос о том, существуют ли многогранник, отличный от тетраэдра и многогранника Силашши, у которого любые две грани имеют общее ребро, всё ещё остается открытым.
